二次型矩阵一定是实对称的
实对称矩阵同一特征值的特征向量记得正交化
幂级数求和函数要注意无定义点
分布函数F(x)充要条件
- F(x)单调不减
- F($-\infty$) = 0；F($+\infty$) = 1
- F(x)右连续
密度函数f(x)充要条件
- f(x) >= 0
- ${\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1}$
参数方程求函数形态要将 t 转化为 x
三角万能代换：$t = tan\frac{x}{2}$
二维正太分布
$$
\frac{1}{2πσ_1σ_2\sqrt{1-ρ^2}}e^{-\frac{1}{1-ρ^2}(\frac{(x-μ1)^2}{2σ_1^2}-\frac{(x-μ_1){(y-μ_2)}}{σ_1σ_2}ρ + \frac{(y-μ2)^2}{2σ_2^2})}
$$柯西积分不等式
$$
[\int^b_af(x)g(x)dx]^2 <= \int^b_af^2(x)dx\int^b_ag^2(x)dx \
[\int^b_af(x)dx]^2 <= \int^b_af^2(x)dx\int^b_adx = (b-a)\int^b_af^2(x)dx
$$海伦公式
$$
S = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)},其中周长为2p
$$三向量共面：a×b·c = 0
点到直线距离公式
$$
点(x_0,y_0,z_0)到直线\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}\
d = \frac{|(x_0-x_1, y_0-y_1, z_0-z_1) × (l, m, n)|}{|(l,m,n)|}
$$异面直线距离公式
$$
L_1的方向向量为e_1，L_2的方向向量为e_2，M_1和M_2为L_1和L_2上的点\
d = \frac{|e_1×e_2·M_1M_2|}{|e_1×e_2|}
$$方向导数
函数不可微不能使用偏导求方向导数，只能回归定义式！
$$
\frac{\partial f}{\partial l}|{(x_0,y_0,z_0)}=\lim{t \to 0^+}\frac{f(x_0+tcosα, y_0+tcosβ, z_0+tcosγ) - f(x_0,y_0,z_0)}{t}\
其中(cos\alpha, cos\beta, tcosγ)是l的方向余弦
$$r(A) + r(B) <= r(AB) + n，其中 n 为 A 的列数或 B 的行数
AB的列向量可以由A的列向量表示；AB的行向量可以由B的行向量表示
左乘列满秩，秩不变；右乘行满秩，秩不变
伽马函数
$$
\int_{0}^{+\infty}\sqrt{x}e^{-x}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\
\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}e^{-x}dx = \sqrt{\pi}
$$一致估计量
*
$$
\lim_{n\to\infty} E\hat\theta = \theta\
\lim_{n\to\infty} D\hat\theta = 0
$$- 若 $\hat\theta$ 是 $\theta$ 的一致估计量，则 $f(\hat\theta)$ 也是 $f(\theta)$ 的一致估计量（不可用于无偏估计）
方差的矩估计量
$$
\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X)^2
$$Ax=b 有解 => b能被A的列向量组线性表出